{\displaystyle y'(t)=f(t,y)} h )
What is going on with this article? ≤ +
=
上図より次数が上がる程に安定性領域が広がっていくことがわかります. となります. 1 高次のルンゲ=クッタ法(10,12,14次) 4次、5次…とずっとあるわけです。 こんなページがありました[3]。 High-Order Explicit Runge-Kutta Methods この上のページには. 2 < t h
常微分方程式の初期値問題.
z 5 ( (
= ) h + R ) であり、更に5次以上の場合には段数は次数よりも大きく取らなければならない ( ) 左上は1段1次の後退オイラー法, 右上1段2次の陰的中点法, 左下は2段3次のラダウⅠA法, 右下は2段4次のガウス-ルジャンドル法です. です. このような性質が陽的ルンゲ-クッタ法に比べて, 陰的ルンゲ-クッタ法の安定性が高い要因になっていると思われます. $$ を考える結果である。 ダールキスト（英語版）は、数値的方法を使って、とある単調性条件を満たす非線型方程式系に適用するときの安定性を主張した。対応する安定性は、線型多段法の場合に G-安定性 （G-stability）で、ルンゲ＝クッタ法の場合に B-安定性 (B-stability)[29] と呼ぶ。 一般的なテスト方程 + ( 1
p次の陽的ルンゲ-クッタ法の安定性関数は, 厳密解のテイラー展開とp次まで一致しました. n ) 1 y
h =
′ b
( を覚えてて、公式を以下のように書き換えると明らかになる。, 台形公式は、選点法である。選点法はすべて陰的ルンゲ＝クッタ法であるけど、陰的ルンゲ＝クッタ法がすべて選点法であるわけではない[20]。, 選点法の中では、ガウス求積に基づいたガウス・ルジャンドル法（英語版）が一番次数の高い方法である。s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は 2s となる（よって、任意に高い次数を持つ方法を構造できるようになる）[21]。例として、2段ガウス・ルジャンドル法は次の配列で与えられる。, 数値分析における安定性は、それぞれ異なる定義が複数存在する。ルンゲ＝クッタ法の安定性を反映できる概念は、主に以下の二つである。, 線型テスト方程式 / det すると$\text{Re} (\lambda) <0$より厳密解は0に収束するにも関わらず(左下, 赤点線), 前進オイラー法は, 発散してしまいます(左下, 青線). また$y_{{\rm Taylor}}(x)$は, 2段2次の陽的ルンゲ-クッタ法の安定性関数$R_{{\rm 2}}(\lambda x)$と一致します. である[7]。この条件を満たす範囲内で様々な方法を考え得る。.
y {\displaystyle y_{n+1}=r(h\lambda )y_{n}} O /
左上の図のバツ印が前進オイラー法の安定性領域の外にでました. ( 2 + ≥
パデ近似は, 関数を有理関数で近似する手法であり, 分母と分子の多項式の次数を足した次数まで, 元の関数のテイラー展開と近似する有理関数のテイラー展開が一致するように, 近似関数を構成します. n =
b
) a j n t パデ近似関数$y_{{\rm Pade}}(x)$は, 陰的中点法の安定性関数$R_{{\rm IM}}(\lambda x)$と一致します.
である[7]。例として、それらの条件の導出を見てみよう。, 一般的に2段陽的ルンゲ＝クッタ法に対応する配列は以下の通りである(一貫性を用いて ) z = と設定し再び近似値を計算する。代わりに t 0 {\displaystyle m=n=s}
‖ {\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+ha_{21}f(t_{n},y_{n}))} λ = 1 21 ) ことが知られている[11]。各次数 p に対する最低段数 s の一般式は未解決問題である。具体的な値が幾つか知られている[12]: 最も単純なルンゲ゠クッタ法が 1段1次 の方法であり、一意に定まる。(前進) オイラー法と等価になる。, 2段2次の方法は1パラメータの自由度 α を持ち、以下のブッチャー配列で与えられる。, である。 左上と右上のバツ印より前進オイラー法, 後退オイラー法ともに, バツ印が安定性領域内にあります. r 1
4 y ) である。上記の条件を満たす z の集合は方法に対する 絶対安定性領域 （region of absolute stability） である。 特に、絶対安定性領域が左複素数平面を含むとき、その方法は A-安定 (A-stable) という。陽的ルンゲ＝クッタ法は、安定性関数が多項式であるため、A-安定な方法になれない[24]。, もっと一般的に、方法の次数が p のときに、安定性関数に対し y ( a ‖ b c と単調性条件 = 一次元移流方程式 以下のような一次元移流方程式を考える. n > p とおく。ki, あるいは y(tn + ci h) を適切に（線型結合として）近似することでルンゲ＝クッタ法の公式となる。その上、係数をテイラー展開より正しく選択すると、方法の収束性も求積法の収束性より保証される。しかし、局所誤差のオーダーや上界は、方法によって大きく異なるので、方法別に計算しなければならない。, 陽的ルンゲ゠クッタ法では
y がわかる)。, 公式から n − y 式(1)の形からもわかるように, 陰的ルンゲ-クッタ法では, 安定性関数が有理関数(多項式わる多項式)になります. 2 =
…
{\displaystyle z=h\lambda } b
) が満たされるので、ブッチャー配列は以下の形になる。, この時、各勾配 k1, ..., ks を以下のように逐次的に求めることができる[10]。. j ) ) , i {\displaystyle \|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|} {\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n})} m
{\displaystyle h
h である。二つの展開式の係数を比較すると、その条件が z x ( 古典的ルンゲ゠クッタ法 (RK4) は既に述べた通り以下のブッチャー配列で与えられる[8]: 修正版としてクッタの3/8公式 (英: Kutta's 3/8-rule) が知られている[14]。, 前述の通り、2段の陽的方法が2次精度を持つための係数に対する条件は、 h
, ) f
b が成立するとき、h が小さすぎて大きくするほうが効率が良い。よって新しい刻み幅 今度は$\text{Re} (\lambda) >0$より厳密解は発散するにも関わらず(右下, 赤点線), 後退オイラー法は, 収束してしまいます(右下, 青線). < {\displaystyle m\leq n\leq m+2} 2 c h 1
n {\displaystyle \alpha =1/2} y 2 = (
1 = 0 {\displaystyle a_{ij}=0} b )[6]。特に f =
{\displaystyle b_{2}c_{2}=1/2} k n / y O
となります. , 1 (2002). 1
である[26]。, s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は前述通り 2s である。よって安定性関数の分子と分母は同じく s 次多項式となる。すなわち、 /
j
{\displaystyle s\geq p} が成立するとき、h が大きすぎて小さくする必要がある。よって新しい刻み幅
0 =
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